イデアル説明 - すするすするる

イデアルとは何か、全く数学に触れてない人間からすると、イデアルは意味不明な対象に見えます。なんで必要なのか、いったい何なのか、どういう風に求まるのかよくわからないものだと思います。

ということで、数学よりの説明、定義を簡単に説明し、別の説明をしてみようと思います。

理論の説明

理論の準備【蛇足】

$X$ は， $X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ をまとめたものとします。多項式 $f \in K(X)$ なら変数 $x_1 \sim x_n$ で作られる多項式 $f$ と考えます。 $K(X)$ は多項式環を示します。和と積と変数、係数で定義される式すべてです。よくある式みたいなもの([tex: x+y²] みたいな)を想定していただければいいと思います。

例えば、 $X = (x_1, x_2, x_3, x_4)$ なら、 $f = x_1x_2 + 3x_3x_4 (f \in K(X))$ といった感じです。

定義

多項式環 $R$ の部分集合 $I$ で、次を満たすものを $R$ のイデアル $I$ とする。 $I$ は次を満たす。、

$f,g \in I$ ならば、 $f+g \in I$
$a \in R$ 、 $f \in I$ ならば $af \in I$

$I=\lt f,g \gt$ と書いて、 $f,g$ で生成されるイデアルと呼びます。また、多項式 $f,g$ を $I$ の生成元、または基底と呼びます。

説明

イデアルってなに？というと、ある式を足し算、掛け算して新たにできる式すべての集合、というイメージです。つまり、イデアルの要素全体は、ものすごい量の式を含む集合です。

ただし、コアとなる部分は、ある式（生成元、基底）であるので、ある式が [x² + 2x + 1] とかなら、 $x=-1$ を代入すると、イデアルの要素すべてが0になるはずです。

つまり大雑把に、誤解を含むかもしれない言い方をすれば、コアとなる、ある式（生成元、基底）と同等の特性を持つ式の集合と考えられます。

例えば、イデアル $I = \lt A \gt$ として、全く同じイデアル[ tex: I] を生成する別の生成元 $B$ が得られるとします（つまり　 $I = \lt A \gt = \lt b \gt$ ）。 $B$ に対して計算することと、 $A$ に対して計算することで同じ解が得られるということです。

この別の生成元 $B$ は、グレブナ基底に相当します。変数を消去したり、連立方程式を解く、というのはこの辺りから出てくるということですね。

では、情報系よりの、別の説明を書いてみます。

イデアルとは何か（情報系むけの別説明）

イデアルって何？というと、例えばイデアルは、HTMLソースであると考えます。イデアルは、HTMLで書かれたソースすべてです。いろんなソースがあって当然ですし、その枠で考えるとすごく広いですね。

さらに、イデアルがHTMLソースなら、基底はタグとし、文章を、任意の多項式とします。文章はタグを含む文章であってもよいとします。

HTMLならHTMLタグは共通して書かれていますし、タグと任意の文章でHTMLソースは作られています。

例えば、HTMLで文章を書くとすると、

<p>ここに文章</p>
<p><a href="hogehoge.html">たとえばリンクとか！</a></p>
<p><strong>文章を強調してみたり！</strong></p>

といった形で書かれますね。

「ここに文章」や「たとえばリンクとか！」、「<strong>文章を強調してみたり！</strong>」が文章に相当します。

同じタグのところは同じ特性を持つ、と考えると、例えば <a></a> タグなら、リンクを示します。もっと言うなら、href というようなあらかじめ決められたパラメータを持つこともわかります。仮に、<a></a> タグだけ集めた集合（イデアル）を考えます。この集合に含まれる文章はみんなリンクですし、hrefの後にURLが続きますね。

全く同じことが、イデアルでも起きる、と考えるとわかりやすいと思います。ある生成元（基底）だけでできた集合があるなら、みんな同じ性質や、同じ操作をすることができる、ということですね。

ここで、「タグと文章で書かれたものを集めたものが HTMLソース」であると考えます。これを用語で置き換えるならば、「（基底） $\times$ 任意の多項式を集めて、足し合わせたものがイデアル」です。

HTMLタグで書かれている以上はみんな同じ「HTMLソース」という大まかな集合に属しますね。同様に、生成元（基底）で作られる以上は、「イデアル」という大まかな集合に属す、という感じです。

対比してまとめてみる

イデアル = HTMLソース
基底の多項式 = HTMLタグ
任意の多項式 = 文章（中にタグを含んでもよい）

「基底 * 任意の多項式を足し合わせたものがイデアル」＝「タグと文章で書かれたコードを集めたものが HTMLソース」

ということで、結構強引でしたが、なんとなくイデアルが何か、イデアルを考えると何が起きるか、がわかって頂けるとうれしいです。

2017/06/29 作成 2017/11/01 ブログ移行に際して更新